Aritmetik Nedir ? Ne İşe Yarar? Özellikleri Nelerdir ?

Aritmetik Nedir ? Ne İşe Yarar? Özellikleri Nelerdir ?

Aritmetik ya da sayı teorisi, en kesin tanımlamasıyla sayılarla hesap yapmayı kapsar. Ayrıca farklı türden sayıların ilkelerini inceler ve ortaya koyar.

Aritmetik esas olarak hesaplamaları konu alır. Hesaplamaların temel kuralları nesneleri sezgiyle ve doğal güdüyle ele alıştan doğar. Örneğin, iki koyuna önce üç ve sonra dört koyunun mu, yoksa üç koyuna önce dört ve sonra iki koyunun mu eklendiğinin bir önemi yoktur. Bu genel formülasyıona birleşirlik yasası denir. (a+b)+c=a+(b+c. Birleşirlik yasası sadece doğal sayılarla değil, sayı sistemindeki bütün sayılar için geçerlidir.

Yeni Sayılar Neden Gerekli?

Aritmetikte bölme ve çıkarma işlemleri doğal sayılarla (1;2;3;…) her zaman uygulanamaz. Sekiz banknotu üç kişiye paylaştırmak maddi olarak mümkün değildir; on banknotun sadece sekiz kişiye dağıtılmasında da aynı durum karşımıza çıkar. Böyle problemler yeni türden sayılar yaratma yoluyla matematiksel olarak çözülebilir. Üçte birlik banknot veya eksi bir insan diye birşey yoktur; ama kesirli ve eksi sayıların devreye girmesi hesaplamaları mümkün hale getirir. İki problemin çözümünde, sekizin üçe bölünmesiyle 8/3 ve sekizden onun çıkarılmasıyla eksi iki elde edilir. Böylece ilk başta çözülemeyen her iş beraberinde uzantılı bir sayı getirir.

Sayı Aralıkları

Toplamave çarpma işlemleri doğal sayı kümeleriyle koşulsuz olarak yapılabilir. Tam sayı kümeleri eksi tam sayılar (-1,-2,-3,…) eklenerek elde edilir. Bu durumda çıkarma işlemi koşulsuz olarak yapılabilir.

Bölme işlemlerini yapmak amacıyla, sayı aralığı bir Q, kesirli sayı kümesiyle genişletilir.N,Z ve Q, birlikte Q rasyonel sayı kümesini oluşturur; böylece sıfıra bölme dışındaki bütün temel aritmetik işlemleri yapılabilir. Her rasyonel sayı, a ve b değerlerinin birer tam sayı olduğu bir a/b kesin olarak ifade edilebilir.

Sonlu ve tekrarlı olmayan ondalık kesirleri ifade etmek için rasyonel sayıları irrasyonel sayılara doğru genişletmek gerekir. Örneğin, bir dairenin çevresi ve çapı arasındaki ilişki bu yoldan anlaşılabilir. Aynı şekilde, irrasyonel sayılar devreye girince,kısıtlamasız karekök hesaplaması mümkün hale gelir. Rasyonel sayılar (Pi) yada karekök gibi irrasyonel sayılarla genişletildiğinde, R gerçek sayılar kümesi elde edilir.

Gerçek dünyayla hiç ilişkisi yokmuş gibi görünen başka bir sayı kümesi de oluşturulabilir. Aritmetik  diliyle bu sanal sayılar şu şekilde tanımlanır. Bir i²=-1 denkleminin çözümü ‘’i’’ dr. Bir başka deyişle, ‘’i’’ eksi birin köküdür. ‘’ Sanal ‘’ terimi sayıların tamamen kurmaca olduğuna işaret eder. Bununla birlikte, gerçek hayatta çok somut uygulamaları vardır. Fizik ve mühendisliktki hesaplamalar gerçek ve sanal sayıları kapsayan karmaşık sayıların yardımıyla kolaylaşır.